Tài liệu : ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1 NĂM 2012-2013

TRƯỜNG THPT

CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

-----------------------

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1

NĂM HỌC 2012–2013

Môn thi : TOÁN; Khối A và khối A1

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số với m là tham số thực.

   a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi

   b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình       

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình                  

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân

 

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều,Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) (SBC).

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm). Cho elip (E) có hai tiêu điểm hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng Biết rằng trên (E) có đúng hai điểm M, N phân biệt thỏa mãn Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;1;1), B(0;1;4),        C(–1;–3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng   (P): x + y – 2z + 4 = 0.

Câu 9.a (1,0 điểm). Từ 11 chữ cái cái của từ MISSISSIPPI có thể xếp được bao nhiêu từ khác nhau (các từ không cần phải có nghĩa) sao cho bốn chữ I  luôn đứng cạnh nhau. 

 

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I. Biết và điểm I thuộc đường thẳng Tìm tọa độ điểm D.

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích của khối đa diện có sáu đỉnh là sáu trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD.

Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình

---------- HẾT ----------

 

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ...............................................................; Số báo danh: ......................................


TRƯỜNG THPT

CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

-----------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1

NĂM HỌC 2012–2013

(Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang)

I. Một số chú ý khi chấm bài

Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,5 điểm.

Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.

Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

II. Đáp án và biểu điểm

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số với m là tham số thực.

   a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi

   b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

a)      Khi hàm số đã cho có dạng 

  •   Tập xác định: .
  •   Sự biến thiên:

Chiều biến thiên 

0,25 đ

Hàm số đồng biến trên các khoảng .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng .Hàm số đạt cực đại tại x = 0, , đạt cực tiểu tại

Giới hạn: .

0,25 đ

Bảng biến thiên:

x

-                                 0                               +                   

y'

          -             0         +       0          -       0         +

y

                                                                            

                                              2

                      1                                               1

0,25 đ

  •   Đồ thị:

0,25 đ

b)      Ta có

Đồ thị hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi    ­­

0,25 đ

Với điều kiện các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

0,25 đ

Gọi I là trung điểm của AO. Từ tính chất đối xứng của đồ thị hàm số trùng phương, điều kiện bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi

0,25 đ

Kết hợp điều kiện ta được

0,25 đ

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình  

 

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Điều kiện

Phương trình đã cho tương đương với

0,25 đ

Thỏa mãn điều kiện.

0,25 đ

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

0,25 đ

Khi đó dẫn đến phương trình vô nghiệm.

Nghiệm của phương trình

0,25 đ

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình               

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Nhân hai vế của phương trình (2) với -3 rồi cộng với phương trình (1), vế với vế ta được

0,25 đ

Thay vào phương trình (1) ta được

0,25 đ

Với Với

0,25 đ

Thử lại đều thỏa mãn.

Hệ phương trình có hai nghiệm

0,25 đ

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD; H là hình chiếu của S trên đường thẳng IJ

Ta có SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Xét tam giác SIJ:

0,25 đ

Theo định lý cosin

Thể tích khối chóp S.ABCD là

0,25 đ

Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với AD. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt các đường thẳng AD, BC lần lượt tại E và F. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là

0,25 đ

Ta có

0,25 đ

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Ta có

Thật vậy, Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

0,25 đ

Suy ra

Hay                                    

0,25 đ

Chứng minh tương tự

0,25 đ

Cộng (1), (2), (3) vế với vế ta được

0,25 đ

Câu 7.a (1,0 điểm). Cho elip (E) có hai tiêu điểm và Biết rằng trên (E) có đúng hai điểm M, N phân biệt thỏa mãn Lập phương trình chính tắc của elip (E).  

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Giả sử (E) có phương trình chính tắc

hình chữ nhật cơ sở của (E) có diện tích bằng nên

0,25 đ

Nếu M1 là một điểm nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600 thì do tính chất đối xứng của  elip, các điểm M2, M3, M4 lần lượt đối xứng với M1 qua trục hoành, trục tung và tâm O cũng có tính chất như vậy­. Mặt khác, theo giả thiết trên elip chỉ có đúng hai điểm thỏa mãn điều kiện trên nên các điểm đó phải đôi một trùng nhau. Suy ra hai đỉnh trên trục nhỏ của elip nhìn hai tiêu điểm dưới góc 600.

0,25 đ

Gọi B là một đỉnh trên trục nhỏ, tam giác BF1F2 là tam giác đều nên

0,25 đ

Hơn nữa                                       

Từ (1), (2) và (3) ta có

Phương trình chính tắc của elip là

0,25 đ

Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng    (P): x + y – 2z + 4 = 0.

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

(S) qua A:         6a + 2b + 2c – d – 11 = 0

0,25 đ

(S) qua B:         2b + 8c – d  – 17 = 0

(S) qua C:         2a + 6b – 2c + d + 11 = 0

Tâm I (P):     a + b – 2c + 4 = 0

0,25 đ

Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3

0,25 đ

Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0

0,25 đ

Câu 9.a (1,0 điểm). Từ 11 chữ cái cái của từ MISSISSIPPI có thể xếp được bao nhiêu từ khác nhau (các từ không cần phải có nghĩa) sao cho bốn chữ I  luôn đứng cạnh nhau.

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Do 4 chữ I đứng kề nhau và giống hệt nhau nên ta có thể coi chúng là một.

Ta cần xếp 8 chữ cái gồm 1 chữ I, 1 chữ M, 2 chữ P, 4 chữ S vào 8 ô trống thành một hàng ngang.

0,25 đ

Bước 1: Chọn 1 ô trống để xếp chữ I, có 8 cách.

Bước 2: Chọn 1 ô trống để xếp chữ M, còn 7 cách.

0,25 đ

Bước 3: Chọn 2 ô trống để xếp 2 chữ P, có cách.

Bước 4: 4 ô trống còn lại xếp 4 chữ S.

0,25 đ

Theo quy tắc nhân, số các từ thỏa mãn điều kiện bài toán là

0,25 đ

Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I. Biết và điểm I thuộc đường thẳng Tìm tọa độ điểm D.

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Tìm được tọa độ điểm

0,25 đ

Tính được bán kính đường tròn nội tiếp

0,25 đ

Sử dụng phương trình tiếp tuyến xuất phát từ một điểm, tìm được phương trình các đường thẳng

0,25 đ

Tìm được tọa độ điểm

0,25 đ

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích của khối đa diện có sáu đỉnh là sáu trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD.

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Từ giả thiết ta có

0,25 đ

suy ra A, B, C, D không đồng phẳng, hay chúng là bốn đỉnh của một tứ diện.

0,25 đ

Gọi V, V1 lần lượt là thể tích tứ diện ABCD và thể tích khối bát diện cần tìm.

Chứng minh được

0,25 đ

Từ đó suy ra

0,25 đ

Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau

Ta có

0,25 đ

Nếu thì , phương trình vô nghiệm.

0,25 đ

Nếu thì , phương trình vô nghiệm.

0,25 đ

Nếu thì phương trình được thỏa mãn.

Phương trình đã cho có tập nghiệm

0,25 đ

 

............................. HẾT .................................